Boule fermée \(\overline B(x,r)\)
Ensemble des éléments à une distance inférieure ou égale à \(r\) de l'élément \(x\) pour une Distance \(d\). $$\overline B(x,r)=\{y\in E\mid d(x,y)\leqslant r\}$$

Montrer que dans un espace métrique, les boules fermées sont Fermées.

Définir le complémentaire d'une boule fermée.
Soit \(x\in E\) et \(r\gt 0\). On a : $$B_f(x,r)^C=\{y\in E\mid d(x,y)\gt r\}$$

On peut inclure des boules ouvertes dans le complémentaire via la propriété d'inégalité triangulaire de la distance.

Donc le complémentaire est ouvert (en tant qu'union d'ouverts), et la boule fermée est bien fermée.

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner un exemple où l'intérieur d'une boule fermée n'est pas la boule ouverte.
Verso: Dans la Topologie discrète, on a $$B_f(x,1)=\mathring{B_f(x,1)}=E\quad\text{ mais }\quad B(x,1)=\{x\}$$
Bonus:
END